Макарычев алгебра 7 класс

Номер 900

Условие:

(Задача исследование.) Верно ли, что если р - простое число» большее трёх, то значение выражения р2 - 1 кратно 12.
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р2 - 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.

 

Ответ:

1) 52 - 1 = 25 - 1 = 24 = 12 • 2.
2) р2 - 1 = (p - 1)(p + 1), так как р простое число больше 3. р не чётное, тогда р - 1 и р + 1 чётные.
Значит произведение (р - 1)(р + 1).
3) Среди трёх последовательных чисел точно одно делится на 3. р - простое, и как следствие не кратно 3.
Значит р + 1 или р - 1 кратно 3.
4) р2 - 1 всегда кратно 12 если р простое число больше трёх.