Макарычев домашняя по алгебре 8 класс гдз

Номер 926

Условие:

Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (а + b) (1/a + 1/b) ≥ 4;
б) a/b2 + b/a2 ≥ 1/a + 1/b.

 

Ответ:

а) (а + b) (1/a + 1/b) - 4 = (a + b) • (a+b)/ab - 4 = (a2+2ab+b2-4ab)/ab = (a-b)2/ab ≥ 0; так как
a > 0 b > 0 => (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4;
б) a/b2 + b/a2 - (1/a + 1/b) = (a3+b3)/a2b2 - (a+b)/ab = (a3+b3-a2b-ab2)/a2b2 = (a2(a-b)-b2(a-b))/a2b2 =
= ((a2-b2)(a-b))/a2b2 = ((a-b)2(a+b))/a2b2 ≥ 0; так как a > 0; b > 0 => a/b2 + b/a2 ≥ 1/a + 1/b.